Ukończył Liceum Plastyczne w Krakowie. Do klasy chodził z Romanem Cieślewiczem i Franciszkiem Starowieyskim. Studiował historię sztuki na Uniwersytecie Jagiellońskim (dyplom 1954) oraz malarstwo w pracowni prof. Adama Marczyńskiego na Wydziale Malarstwa krakowskiej ASP (dyplom 1955).
W 1956 brał udział w Wystawie Młodej Plastyki w Krakowie. Po przeprowadzce do Warszawy rozpoczął pracę jako ilustrator, a pierwsza książka z jego ilustracjami ukazała się w roku 1959. Była to H. Bechlerowej - O kotku, który szukał czarnego mleka. O znaczeniu tych ilustracji mówił: Pamiętam, chwyciłem szeroki pędzel i od jednego pociągnięcia udało mi się oddać kocią sylwetkę, jej grację oraz krok. I zrozumiałem, że znalazłem własną drogę. Swój styl. Artysta rozpoczął współpracę z polskimi wydawnictwami: Naszą Księgarnią, Ruchem, KAW i Czytelnikiem. Za jedną z najpiękniejszych książek wczesnego okresu jego twórczości uważa się Pawie wiersze, w której rysunki i akwarele Józefa Wilkonia zostają „zilustrowane” słowem przez poetę Tadeusza Kubiaka (wyd. 1959). Kolejnymi słynnymi książkami ilustrowanymi przez Wilkonia są: W Nieparyżu i gdzie indziej A. Kamieńskiej (1967), O księciu Ibrahimie i pięknej Sinedhur. Baśń z Tunisu Anny Milskiej (Biuro Wydawnicze Ruch, 1965) i Pan Tadeusz Adama Mickiewicza (1973). W roku 1960 w Galerii ZPAP w Warszawie miała miejsce pierwsza indywidualna wystawa Józefa Wilkonia, na której m.in. pokazano ilustracje nagrodzone złotym medalem IBA w Lipsku. W roku 1963 rozpoczęła się długoletnia współpraca z wydawcami europejskimi (głównie Francja, Niemcy, Szwajcaria), a od 1976 roku z japońskim. Od kilkunastu lat artysta tworzy tzw. „ilustracje przestrzenne”, które stały się samodzielnymi formami rzeźbiarskimi. Tak zrodziło się olbrzymie bestiarium, ryby, ptaki, nietoperze, nieustannie wędrujące po Polsce i świecie. Jednym z najgłośniejszych przystanków była warszawska Zachęta z najnowszą, gigantyczną arką (Arka Wilkonia, 2006/2007). O swej artystycznej ewolucji mówi: Malowałem tuszem i akwarelą, z gestu. Moją ambicją było uchwycić ruch i charakter zwierzęcia jednym pociągnięciem dużego pędzla. Teraz rolę pędzla spełniają uderzenia siekiery czy pociągnięcia elektrycznej piły – moje zwierzaki są zrobione kilkunastoma ciosami. Przyznaje, że chciałby ocalić całą faunę. Od dzieciństwa bliski był mu świat zwierząt. Doskonale poznał ich zwyczaje. Wspomina świat, którego nigdzie potem już nie było. Pastwisko z krową Pyzią, konia Łyska z gospodarstwa dziadków, czy borsuki i lisy z pobliskiego lasku Wygasia. Właśnie takie obrazy inspirowały artystyczną wyobraźnię od samego początku.

Prace Józefa Wilkonia znajdują się w japońskich muzeach i wielu prywatnych kolekcjach.

Zajmuje się malarstwem, rzeźbą, scenografią, ilustracją książkową, projektowaniem gobelinów. Autor ilustracji i opracowania graficznego do ponad 100 książek dla dzieci i dorosłych, wydanych w Polsce oraz 60 książek wydanych za granicą. Uczestnik wielu wystaw zbiorowych i indywidualnych na świecie. Laureat wielu prestiżowych nagród.