Malarz i rzeźbiarz, studiował w krakowskiej Akademii Sztuk Pięknych u Teodora Axentowicza, Jacka Malczewskiego oraz Konstantego Laszczki. W 1920 roku artysta przeniósł się wraz z rodziną z Krakowa do Wiśnicza, gdzie mieszkał w latach 1920-1934 oraz 1940-1947. Zauroczony pięknem tej miejscowości utrwalał je w niezliczonych krajobrazach, widokach zamku, ratusza, zespołu pokarmelickiego z pięknym, dziś nieistniejącym już kościołem. Jego obrazy znakomicie przedstawiają atmosferę międzywojennego Wiśnicza, miasta żyjącego w cieniu zamku oraz silnej i aktywnej Bochni. Urzeczony pięknem miasteczka i okolicy przedstawił je w niezliczonych krajobrazach, widokach zamku, ratusza, pól, łąk i lasów. Później utrwalił w swych obrazach tragiczne lata okupacji.
Doskonalił swoją sztukę portretową, tworząc wizerunki osób z najbliższego otoczenia: kobiet i mężczyzn, a nade wszystko dzieci, świetne technicznie, zarazem odznaczające się niezwykłą wnikliwością psychologiczną. Mistrzostwo techniczne, intymność, ciepło i liryzm, wrażliwość, subtelność i wdzięk uczyniły z tych obrazów niemalże bajkowe kompozycje. Artysta wykonywał także obrazy religijne. W latach powojennych był nauczycielem w wiśnickim Liceum Sztuk Plastycznych (1951-1961). W 1961 roku zamieszkał w Katowicach. Prace malarza, pozostające po jego śmierci w rękach rodziny, stały się podstawą utworzenia prywatnego Muzeum Stanisława Klimowskiego w Nowym Wiśniczu.
Dorobek artysty był prezentowany na kilkunastu wystawach. Wiele prac Stanisława Klimowskiego znajduje się w zbiorach prywatnych, w kościołach i muzeach (m.in. w Muzeum Śląskim w Katowicach, Muzeum im. S. Fischera w Bochni, Muzeum Narodowym w Krakowie, Muzeum Wojska Polskiego w Warszawie). W Nowym Wiśniczu działa Muzeum Biograficzne Artysty, w którym eksponowane są jego dzieła.