Studiował w warszawskiej Szkole Rysunkowej, prywatnie w pracowni Konrada Krzyżanowskiego oraz Szkole Sztuk Pięknych (od 1923 roku, dyplom 1932 u Tadeusza Pruszkowskiego). Od 1924 pełnił oficjalne funkcje w ramach struktury uczelni: bibliotekarza, instruktora technik malarskich oraz prowadzącego pracownię technik malarskich. Po wojnie mianowany zastępcą profesora w Akademii Sztuk Pięknych, od 1947 profesorem nadzwyczajnym malarstwa tejże uczelni. Kokoszko zarówno przed i po wojnie formował warszawskie środowisko artystyczne. Był członkiem m. in. Bractwa Św. Łukasza oraz Spółdzielni Ład. Artysta wielokrotnie prezentował swoją twórczość na wystawach zbiorowych i indywidualnych, w kraju oraz zagranicą, lecz przede wszystkim w Towarzystwie Zachęty Sztuk Pięknych w Warszawie. W swoim malarstwie Kokoszko zjamował się, oprócz portretu i martwej natury, zwłaszcza tematyką krajobrazową. Posługiwał się językiem realizmu, w którym, dzięki formalnym i technologicznym próbom, osiągał ekspresyjne efekty ewokujące nastrojowe stany natury.